Introdução

Matemática: Ciência do raciocínio lógico e abstrato.

Bom, neste bimestre aprendemos sobre três matérias: Função modular, Equações modulares Inequações modulares.

Introdução:
 *Função modular: Módulo ou valor absoluto
O módulo ou valor absoluto de um número real x, que se indica por | x | é definido da seguinte maneira: | x | = x, se x ≥ |x | = -x, se x < 0
Se x é positivo ou zero, | x | é igual ao própio x
Ex: | 3 |=3
Se x é negativo, | x | é igual a -x
Ex: | - 4 | = -(- 4) = 4

Representando Geometricamente:

O módulo de um número real x é igual a distânci do ponto que representa, na reta real, o número x ao ponto 0 na origem:
| x | < a <-> -a < x< a
<----------------o-------------------o-------------------->
                    -a                       a
| x | > a <-> x > a ou x <-a
<----------------o------------------o-------------------->
                     -a                       a

*Equações modulares

Toda equação que contiver a incógnita em um módulo num dos membros.
Ex: | 6x- 2 |= 4

*Inequações modulares
Inequações nas quais aparecem módulos de expressões que contém incógnitas.
Ex:| 2x+5 | > 7

OBS:O módulo de um número real é sempre positivo ou nulo e nunca negativo.

Curiosidade:
Um exemplo prático de função é: o valor que iremos pagar no final do mês na conta de água e energia de nossas casas está em função (está dependendo) de quanto iremos gastar de m3 de água e quantos KW de energia foram consumidos durante o mês. Essa relação é uma função.
Site: http://www.mundoeducacao.com.br/matematica/funcao.htm

Agora que você já sabe sobre função modular, que tal colocar em prática... Divirta-se.

                  

                                   

                                                                                                 
                                                            

Módulo

Módulo

Em todo número x podemos associar um valor absoluto de x ou um número real denominado módulo de x representado por |x| e obtido do seguinte modo:

1º) Se x é positivo ou nulo, o seu módulo é ele mesmo.

2º) Se x é negativo, o seu módulo é obtido trocando o seu sinal.

 

O módulo ou valor absoluto de um número real é sempre positivo.

Interpretação Geométrica

Sabemos que um número real x está associado a um ponto da reta. Podemos interpretar o módulo de x como sendo a distância do ponto que representa x ao ponto que representa o número 0.

Exemplos:

a) No esquema abaixo, o número real 3 está associado ao ponto A. O módulo de 3 é igual à distância entre A e 0.

 

b) No próximo esquema abaixo, o número real é –3 e está associado ao ponto B. O módulo de -3 é igual à distância entre B e 0.

 

 

 

Equação modular

Equação modular

Equações são expressões matemáticas algébricas que possuem uma ou mais incógnitas, sempre apresentadas com o sinal de igualdade. Equação modular se enquadra neste conceito geral, mas no caso das modulares, as incógnitas se encontram dentro do módulo; dessa forma, devemos respeitar as condições do módulo de um número, que é a seguinte:

|x| = x, se x ≥ 0
-x, se x < 0

Veja alguns exemplos de equações que são modulares:

|x + 3| = 5

|x| – 9 = 8

– |2x| = 10

3*|x|2 – 8*|x| + 5 = 0

|x2 – 2x + 8| = 32

Para uma melhor compreensão da resolução de uma equação modular, acompanhe as demonstrações a seguir:

Exemplo 1
|x| = 6
Para descobrir o valor de x devemos pensar da seguinte forma: um número real terá sempre um valor positivo como resultado do seu módulo, e 6 é positivo, mas o valor de x poderá ser +6 ou –6, pois |+6| = 6 e |–6| = 6, portanto, x = 6 ou x = –6


Exemplo 2
|x| = 0
Como zero tem valor nulo (não possui sinal) dizemos que o único valor que x poderá assumir será 0, portanto, x = 0.


Exemplo 3
|x| = –12
Como um número real terá sempre um valor positivo ou nulo, no caso em que o módulo é –12 não irá existir valor real para x, portanto, a solução dessa equação será conjunto vazio.

Exemplo 4
|x + 3| = 5

x + 3 = 5 → x = 5 – 3 → x = 2
x + 3 = –5 → x = –5 –3 → x = – 8


Exemplo 5
|x + 5| = x + 5
Condição: x + 5 ≥ 0, a equação só é possível se x + 6 ≥ 0, ou seja, x ≥ – 6.

x + 5 = x + 5 → x – x = 5 – 5 → 0x = 0 (indeterminado)
x + 5 = –(x+5) → x + 5 = –x –5 → x + x = –5 –5 → 2x = –10 → x = –5

S = {x Є R / x = –5}



Exemplo 6
|x – 3| + 4x = 8
|x – 3| = 8 – 4x

Condição: x – 3 ≥ 0, se 8 – 4x ≥ 0, ou seja, –4x ≥ –8 → 4x ≤ 8 → x ≤ 2.

x – 3 = 8 – 4x → x + 4x = 8 + 3 → 5x = 11 → x = 11/5 (não satisfaz a condição x ≤ 2)

x – 3 = – (8 – 4x) → x – 3 = – 8 +4x → x – 4x = – 8 + 3 → –3x = –5 → x = 5/3 (satisfaz a condição x ≤ 2)

S = {x Є R / x = 5/3}

    

Inequações modulares

Inequações modulares

Uma inequação será identificada como modular se dentro do módulo tiver uma expressão com uma ou mais incógnitas, veja alguns exemplos de inequações modulares: 

|x| > 5 

|x| < 5 

|x – 3| ≥ 2

Ao resolvermos uma inequação modular buscamos encontrar os possíveis valores que a incógnita deverá assumir, obedecendo às regras resolutivas de uma inequação e as condições de existência de um módulo. 

Condição de existência de um módulo, considerando k um número real positivo: 

Se |x| < k então, – k < x < k 

Se |x| > k então, x < – k ou x > k 

Para compreender melhor a resolução de inequações modulares veja os exemplos abaixo: 

Exemplo 1 

|x| ≤ 6 

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que: 

– 6 ≤ x ≤ 6

S = {x Є R / – 6 ≤ x ≤ 6} 

Exemplo 2 

|x – 7| < 2 

Utilizando a seguinte definição: se |x| < k então, – k < x < k, temos que: 

– 2 < x – 7 < 2 
– 2 + 7 < x < 2 + 7 
5 < x < 9

S = {x Є R / 5 < x < 9} 

Exemplo 3 

|x² – 5x | > 6 

Precisamos verificar as duas condições: 

|x| > k então, x < – k ou x > k 

|x| < k então, – k < x < k 


Fazendo |x| > k então, x < – k ou x > k 
x² – 5x > 6 
x² – 5x – 6 > 0 
Aplicando Bháskara temos: 
x’ = 6 
x” = –1 

Pela propriedade: 
x > 6 
x < –1 

Fazendo |x| < k então, – k < x < k 
x² – 5x < – 6 
x² – 5x + 6 < 0 
Aplicando Bháskara temos: 
x’ = 3 
x” = 2 

Pela propriedade: 
x > 2 
x < 3 

S = {x Є R / x < –1 ou 2 < x < 3 ou x > 6}.

Entenda mais Inequações modulares com os vídeos abaixo:

Veja a continuação deste video e mais videos Aqui

Função Modular

Função Modular

     Quando a função é colocada dentro de um módulo, a função é denominada modular. Seu formato é dado por: y=|f(x)|.

     Esta função pode ser substituída por outras duas funções que são equivalentes à função interior:

      Serão dados alguns exemplos de funções modulares. Todas serão representadas por mais de uma sentença.

 

     Resumindo: A parte da função que estava "em baixo" do eixo x foi refletida para cima do eixo x. Essa ideia valerá para todas as funções modulares.

 

 

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